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前言為了幫助羅伯特王子娶到圓錐王國的公主瑞秋，必須找出圓錐王國裡所埋藏的寶藏，而你們就是王子的智囊團，唯一可以利用的工具只有—筆、直尺、圓規，以及各位的腦袋。 學習動力對於「圓錐曲線」完全外行的我，因為接到任務，所以就開始了一段研究如何教授「圓錐曲線」的旅程，自己玩得很高興，也與您分享。按美國華德福資深數學老師Jamie York的建議(註1)，可以將這門主課程設計成尋寶遊戲，於是打從一開始我就編了一個故事(如前言)，從這裡入手，孩子們的動力就來了，也對接下來的課程有所期待。 在華德福教育中特別提到，當我們在課程中加入了張力、期待和放鬆，這些都會滲透思考過程，並且帶來益處 (註2)。猶記以前上「圓面積」這個主題時，一開始我就向學生宣布：「我想請大家吃披薩(這時所有的孩子眼睛都亮了！)但是天下沒有白吃的午餐。」這時我打開黑板，亮出已經畫好的圖(如圖一)，問道：「這有四盒披薩，哪一盒的披薩可以吃最多？猜對的人就有披薩吃！」這個幾乎只贏不輸的題目在華德福的教學藝術上起了一個很好的效用(事實上對任何教育都一樣)，因為引發學生的好奇心就是個好的學習的開始。在學生都猜完之後，我讓學生畫在工作本中留下紀錄，並保留答案直到教完圓面積如何計算後，讓他們自己揭曉答案。這真是一件很美的事，讓孩子有動機想知道如何算出圓面積，等學生學會時再應用所學去找出答案，學生也會有滿滿的成就感。 圖一：四盒披薩 
寶藏線索「圓錐曲線」第一天的題目很簡單，重點是釐清「軌跡」和「距離」這兩個概念，雖說容易，一旦清晰的概念建立好，則後面相扣著的所有問題都可迎刃而解。五個寶藏埋藏的線索分別是：距離一點等距的軌跡(當然題目要講得好玩些，如：寶藏埋藏在距離A樹100呎遠的地裡，那麼寶藏可能埋藏的位置所在)、與一直線等距離的軌跡、與一個圓等距的軌跡，以及與兩點等距的軌跡、與兩相交直線等距的軌跡(引出中垂線和角平分線的定義與性質)。 第二天開始的寶藏就只能兩天介紹一種圓錐曲線，首先是：埋在距離一樹與一筆直的籬笆兩者等距之處(樹不在籬笆上)。學生在試畫時，可以提醒他們前一日所學(距離一點等距的軌跡是圓、距離一直線等距的軌跡則是平行線)，讓同學學習用尺和圓規找尋等距的交點位置有哪些，最後平滑地連接起來就是拋物線(圖二)了。橢圓(圖三)和雙曲線(圖四)也運用類似的提問法(寶藏埋在距離一圓形籬笆與其內/外一樹等距之處)。一天做一種圖，學生從複雜的作圖中慢慢熟悉這些軌跡如何被畫出。 圖二：拋物線  圖三：橢圓 圖四：雙曲線
再來國王又考王子：拋物線和雙曲線這麼相像，要如何區分呢？經過三天不眠不休地思考，智囊團終於與王子一起想通可以利用四個並接的圖形(圖五/註2)來說明異同：兩者同樣是開口愈來愈大的曲線，一個較有弧度，而離對角線越來越遠的是拋物線；另一個看似越來越直，且離對角線越來越靠近、卻永不相交的是雙曲線，如此就引出了漸近線(四個雙曲線的圖的對角線)。這裡我也利用這兩種曲線的可能職業做比喻，一個有如喜愛曲線的藝術家，一個如筆直向前的軍事家。 圖五：拋物線和雙曲線的異同  與人的對應每學會畫一種圓錐曲線後，都會引導學生觀察準線/準圓或焦點移動時曲線的形變。我常常讓學生將所學的課題與人做對應，透過將外在世界與人產生關聯，我們就是在激發孩子們的情感，也同時幫助孩子們去記憶；就像史丹勒說，在我們提到溫暖現象時，怎麼能不談及發燒；在提及彈力球時，怎麼能不講到嘔吐現象(註3)。在圓錐曲線上有個譬喻可以讓形變概念變得超清晰。在隔天回顧前日所學時，我會靠到一位害羞或畏懼我的學生身邊，讓學生看我們之間的動態關係—當我越靠近他時，他會越退縮，正如同：當準線/準圓和焦點間的距離越近，曲線的開口就變得越窄或越扁；原來人際關係在數學上也學得到，而且此概念對幾種圓錐曲線都一樣適用。 鍛鍊心靈肌肉圓錐國王發現難不倒王子，沮喪之餘又一陣狂笑，問道：「在圓錐王國中，哪些區域埋藏哪種寶藏!?」於是我們得先定義出圓錐(王國)。我很記得德籍華德福外師Loather Stainmann的提醒，在課程中要把握機會鍛鍊學生的心靈肌肉，這是發展想像力的源頭。這是什麼意思呢?當時他舉了一個例子：如果有一疊整齊的白紙被推了一下，結果原本垂直的角度變成一個斜面(圖六)，那麼側面看時，白紙所佔的面積會改變嗎?當老師用口頭仔細陳述時，學生就在腦子裡形塑動態的畫面，這就是對他心靈肌肉的鍛鍊—冥想。特別是在幾何中，如果可以先讓學生在腦中形塑出幾何，然後再用手畫出來，那麼這幾何或空間的概念會是非常清晰的。這裡我也運用了相同的策略。 圖六： 
我告訴同學們，要知道圓錐王國中哪些區域埋藏哪種寶藏，得先帶他們去看看圓錐王國的樣貌，遂要求大家都坐在椅子的前三分之一處，兩手放在大腿上，脊椎打直，繫上安全帶(做動作外加配音)，然後閉上雙眼就出發了(註4)。遠遠地我們看到前方有一條叫做A的直線筆直於前(提醒所謂的直線是沒有端點、無限延伸的線)，有另一條叫B的直線與A直線相交於一點，且與A維持一定的角度(α角)，這時B繞A三百六十五度，B直線所掃過的區域就是圓錐王國。冥想完後張開雙眼，解開安全帶，問他們看清楚了沒?為了讓冥想能力比較不強的同學有機會在腦中形塑得更清楚，我再請兩位高個頭的學生到教室前方，一個當A，一個當B，A雙手抱住斜躺且手臂往頭上直伸的B，擺好一定角度後，我拉著B的一腳協助他繞A一圈，要同學注意B所掃過的空間，這是第二次鍛鍊；再來我才在黑板上畫出圓錐的圖形(圖七)，強調出圓錐王國是中空的，而且是無限延伸地大；最後我端出原本已藏在教室某處的圓錐黏土，讓學生第四次看到這形象(半個圓錐王國)，接著才進入切剖圓錐王國找出曲線在其中的分布位置(圖七之一)。 圖七：定義圓錐王國  孩子們都知道水平地橫剖圓錐可以得到圓形的曲線，也能猜出稍微斜切的剖面是橢圓形的曲線，但是繼續加大傾斜度，一直都是橢圓嗎?這裡要強調出，由於圓錐無限地延伸，唯一可以切不到兩端，就是剖面傾斜度與B直線平行時，這時切出來的曲線是拋物線，這是重要的臨界點，剖面一旦過了與B直線平行的角度，就會同時切到上方的圓錐，而切出雙曲線。隔天會再進一步找退化的圓錐曲線。 圖七之一：切剖圓錐王國  我繼續編故事：王子開竅了，繼續向圓錐國王說：「其實這些寶藏的藏身處並不只一種說法。」於是我們來到圓錐曲線的另一種定義方式—引導學生從簡易圖上看出：橢圓、雙曲線和拋物線分別是加法、減法及相等的曲線(圖八/註5)。介紹完橢圓有加法的特性(橢圓上任一點到兩焦點距離和為一定值a+b=k)後，我將一條線段的兩端懸貼在黑板上(像一個微笑)，然後用粉筆貼著線一筆畫出橢圓。你可以想見之前為了一個橢圓得作圖作很久的學生這時的臉，和我畫完後站在一旁的得意笑容。我讓學生用厚紙和棉線也在硬紙上做出一個微笑，再貼在工作本上當記錄，且在旁邊寫上此微笑線段的長度其實就是準圓的半徑之證明。另外還可以利用拉鍊(圖九)來進行減法曲線(a-b=k)的操作(註6)，也相當有意思。 圖八  圖九 與生活的關聯除此之外，我會利用課堂上的小空檔，一一介紹當今對這三種曲線的應用，像是如何利用拋物線的光學性質來設計車頭燈、太陽能爐、無線電接收器等；如何利用橢圓形的光學性質可以有隨便打、隨便進的橢圓形撞球桌、橢圓形音樂廳的VIP座位在哪裡，甚至是腎結石碎石器如何運作。雙曲線就更厲害了，由於它是減法的曲線，被應用來做遠航定位、甚至因為是承受壓力最大的曲線、風阻小又省料，而被廣泛地應用在各種現代建築上，如德基水庫、聖路易斯科學中心天文館。應用這部份對學生很重要，學生知道這些曲線與他們生活的關聯性，他們會覺得學習是有用的，是以對這些曲線就更有興趣去了解，也更容易記得這些曲線的特性。史丹勒也提到，要維護孩子理想主義的健康發展，要讓十三到十五歲的孩子看到實際生活與課程的關聯。我們也以此讓孩子對周遭發生的事情充滿好奇及求知的渴望，從這當中繼續發展他的知識(註7，p164)。 形變除了加法、減法及相等的曲線外，王子還秀給國王看圓錐王國內沒有的乘法曲線--卡西尼曲線(Cassini Curves)及其形變(圖十)。這裡得要解釋一下，其實卡西尼曲線並非圓錐曲線的一員，Jamie York建議要教(在華德福八年級數學課綱中亦為建議可上的內容之一)，目的是為了讓學生看到許許多多的形變，八年級的孩子要懂得形變過程，甚至提到他所工作的學校在四、五年級時，便會在優律思美課中讓學生去跳出這個形變，並且預告在八年級時會在數學課中學到這些形；史丹勒亦提到：藉由觀察圖像產生時所發展的空間感受，將會讓意志有所開展(註7)。卡西尼曲線真的很挑戰學生，作圖相當花時間，且形變又出乎意料之外。正好我當時去旁聽一位來自紐西蘭的華德福高中老師示範教授高二天文學，他提及了卡西尼曲線與天體運行的關聯性，這讓我更加毫不猶疑地將卡西尼曲線納入此主課的教學內容中。 圖十：卡西尼曲線  |
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